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孟子曰：“魚(yú)，我所欲也；熊掌，亦我所欲也。二者不可得兼，舍魚(yú)而取熊掌者也。”在實(shí)際生產(chǎn)生活中，人們往往更希望魚(yú)與熊掌兼得。例如，人們希望在降低服裝購(gòu)買成本的情況下使其舒適度最大化，或者希望在減少車輛能耗和污染物排放的情況下使車輛性能最優(yōu)化。

圖1 生活中的多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題

一、錯(cuò)綜復(fù)雜：多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題

多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題（Multiobjective Combinatorial Optimization Problem, MOCOP）是涉及多個(gè)目標(biāo)函數(shù)同時(shí)優(yōu)化的數(shù)學(xué)問(wèn)題[2]，需要權(quán)衡兩個(gè)或多個(gè)相互沖突的目標(biāo)，進(jìn)而做出最優(yōu)決策。目前，該問(wèn)題已被應(yīng)用于工程、經(jīng)濟(jì)、物流等多個(gè)領(lǐng)域。MOCOP的基本數(shù)學(xué)模型如公式(1)所示。

當(dāng)多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題的解在目標(biāo)空間分布的距離與決策空間分布的距離呈非正相關(guān)關(guān)系時(shí)，現(xiàn)有算力分配方法的求解性能會(huì)變差[3-6]。這將導(dǎo)致相鄰目標(biāo)向量所對(duì)應(yīng)的決策向量差異性大。例如，圖2中Y1和Y2是兩個(gè)相鄰的目標(biāo)向量，X1和X2是決策空間中對(duì)應(yīng)的兩個(gè)解。如果X1和X2所屬的決策空間不相鄰，那么從一個(gè)子問(wèn)題的解轉(zhuǎn)移到其相鄰子問(wèn)題的解是十分困難的。這導(dǎo)致現(xiàn)有的基于分解算法的算力分配方法在求解MOCOPs時(shí)的性能會(huì)變差。

圖2 目標(biāo)空間的距離與決策空間的距離非正相關(guān)示例

如何選擇子問(wèn)題并合理分配有限的算力是提升基于分解算法求解MOCOPs性能的關(guān)鍵之一。因此，針對(duì)背包與二次分配多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題存在的相鄰目標(biāo)向量所對(duì)應(yīng)的決策向量差異程度大這一問(wèn)題，智能算法研究中心的研究人員提出基于稀疏目標(biāo)子區(qū)域微搜索的多目標(biāo)組合優(yōu)化算法（Local-diversity Evaluation Assignment Strategy for Decomposition-based Multiobjective Evolutionary Algorithm, MOEA/D-LdEA）[1]。MOEA/D-LdEA通過(guò)劃分目標(biāo)空間獲得微小的多目標(biāo)子區(qū)域，使算法能夠在多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題的大規(guī)模搜索空間中找到有效決策子集，并依據(jù)多目標(biāo)子區(qū)域的稀疏度動(dòng)態(tài)分配算力，在不同的子區(qū)域進(jìn)行定向搜索，節(jié)省了計(jì)算代價(jià)，最終獲得多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題的高質(zhì)量解集。目前，該研究工作已發(fā)表在國(guó)際頂級(jí)期刊IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems（JCR一區(qū)，影響因子11.471）。

MOEA/D-LdEA算法的流程如圖3所示。該算法主要包括兩部分：微小搜索子區(qū)域的稀疏度評(píng)估模型和有效決策子集的算力分配策略LdEA。

圖3 MOEA/D-LdEA算法流程圖

二、排沙簡(jiǎn)金：微小搜索子區(qū)域的稀疏度評(píng)估模型

微小搜索子區(qū)域是通過(guò)在多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中使用分解算法來(lái)確定的。分解算法將多目標(biāo)問(wèn)題分解為一組單目標(biāo)子問(wèn)題，每個(gè)子問(wèn)題都是在不同權(quán)重向量下的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。因此，搜索空間的規(guī)模僅限于每個(gè)單目標(biāo)問(wèn)題的權(quán)重向量，而不是整個(gè)多目標(biāo)問(wèn)題的搜索空間。算法將在微小范圍內(nèi)進(jìn)行定向搜索，這樣極大地減少了計(jì)算成本，節(jié)省了算力。

微小搜索子區(qū)域的稀疏度評(píng)估模型主要用于估計(jì)每個(gè)目標(biāo)子區(qū)域的局部密度。首先，假定目標(biāo)空間被劃分為K個(gè)目標(biāo)子區(qū)域，其中，可以被定義為：

圖4 微小搜索子區(qū)域的稀疏度評(píng)估模型對(duì)目標(biāo)空間的劃分

當(dāng)目標(biāo)空間被劃分為多個(gè)子區(qū)域后，由于每個(gè)解與一個(gè)目標(biāo)子區(qū)域相關(guān)聯(lián)，因此可以通過(guò)采用公式(3)計(jì)算與目標(biāo)子區(qū)域相連的解的個(gè)數(shù)來(lái)估計(jì)目標(biāo)子區(qū)域的局部密度：

其中， 表示在種群C中由得到適應(yīng)值評(píng)估的第j個(gè)子問(wèn)題所生成的解的數(shù)量，其中C包含e(e ≤ N)個(gè)在各個(gè)目標(biāo)均不相等時(shí)適應(yīng)度值的解。

圖5 目標(biāo)空間中不同稀疏度的子區(qū)域

如公式(4)所示，當(dāng)局部密度值與所選目標(biāo)子區(qū)域的概率成反比，即目標(biāo)子區(qū)域稀疏度越高，則目標(biāo)子區(qū)域被選擇的概率越大。被選中的目標(biāo)子區(qū)域即為該微搜索過(guò)程的有效決策子集。

最后，可以根據(jù)目標(biāo)子區(qū)域的稀疏度，采用公式(5)計(jì)算被選定目標(biāo)子區(qū)域的概率，即：

1. 稱體載衣：有效決策子集的算力分配策略

因?yàn)樗阉魉惴▋A向于更頻繁地探索多樣性更強(qiáng)的區(qū)域，所以搜索算法的效率取決于搜索空間不同部分之間的差異程度。因此，我們提出有效決策子集的算力分配策略LdEA，將算力分配給具有較低目標(biāo)函數(shù)值和較高多樣性的個(gè)體，實(shí)現(xiàn)算力的相對(duì)均勻分配，從而減少不必要的算力消耗，節(jié)省計(jì)算成本。

當(dāng)MOCOPs的解滿足目標(biāo)空間距離與決策空間距離呈非正相關(guān)的前提時(shí)，在有效決策子集中確定權(quán)重向量的子問(wèn)題z（如圖6(b)所示），可以使有效決策子集中的子問(wèn)題z比其它子問(wèn)題獲得更多的適應(yīng)度評(píng)估次數(shù)。LdEA策略對(duì)不同有效決策子集所關(guān)聯(lián)的不同子問(wèn)題進(jìn)行不均等的算力分配，避免算力冗余或者被重復(fù)分配，最終在確定被選中的子問(wèn)題后生成解。

圖6 采用LdEA策略對(duì)子問(wèn)題進(jìn)行選擇的過(guò)程說(shuō)明

為了驗(yàn)證LdEA策略的有效性，研究人員評(píng)估了MOEA/D-LdEA與四個(gè)對(duì)比算法在MOMKP 實(shí)例和MQAP實(shí)例上所獲得的反向世代距離（Inverted Generational Distance, IGD）和超體積（Hypervolume, HV）指標(biāo)值。

表1 MOEA/D-LdEA 與對(duì)比算法在求解MOMKP測(cè)試問(wèn)題上所獲得的IGD和HV指標(biāo)值

表2 MOEA/D-LdEA 與對(duì)比算法在求解MQAP測(cè)試問(wèn)題上所獲得的IGD和HV指標(biāo)值

從表1和表2可見(jiàn)，MOEA/D-GUS在移除了LdEA策略后對(duì)MOMKP實(shí)例和 MQAP實(shí)例進(jìn)行求解所得的IGD值和HV值差于MOEA/D-LdEA所獲得的IGD值和HV值。這驗(yàn)證了采用LdEA策略求解滿足目標(biāo)空間距離與決策空間距離非正相關(guān)的空間化目標(biāo)先驗(yàn)特性的MOMKP和MQAP測(cè)試問(wèn)題的有效性。此外，MOEA/D-LdEA能夠在多個(gè)有效決策子集中實(shí)現(xiàn)分配更少的算力來(lái)獲得高質(zhì)量的非支配解，具備較好的折衷收斂性與多樣性，從而在所獲得的IGD值和HV值上優(yōu)于MOEA/D-EEA、NSGA-III和RVEA。

圖7展示了MOEA/D-LdEA與四個(gè)對(duì)比算法在 MOMKP 測(cè)試問(wèn)題和MQAP測(cè)試問(wèn)題上獲得的最終解集。與采用不同算力分配策略的其他對(duì)比算法相比，MOEA/D-LdEA獲得的解集更逼近帕累托前沿（Praeto Front, PF）。這說(shuō)明通過(guò)確定微小搜索子區(qū)域和有效決策子集算力分配策略，MOEA/D-LdEA可以在目標(biāo)空間的更多有效決策子集獲得更優(yōu)的最終解集，克服從一個(gè)子問(wèn)題的解轉(zhuǎn)移到其鄰近子問(wèn)題的解這一困難，更有利于解決 MOCOPs。

圖7 MOEA/D-LdEA、MOEA/D-CRA、OPE-MOEA、MOEA/D-IRA 和PPLS/D 在MOMKP (1) 和MQAP (2) 實(shí)例上獲得的最終解集

綜上所述，MOEA/D-LdEA通過(guò)運(yùn)用微搜索方法選定目標(biāo)子區(qū)域，然后將選中的目標(biāo)子區(qū)域作為定向搜索方向并分配更多的算力，在求解背包問(wèn)題、二次分配問(wèn)題等多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題方面獲得了顯著成效，在性能上明顯優(yōu)于OPE-MOEA、PPLS/D等現(xiàn)有算力分配的算法。

長(zhǎng)期以來(lái)，智能算法研究中心致力于運(yùn)用微搜索算法解決我國(guó)實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中的“卡脖子”難題，目前已在柔性車間生產(chǎn)調(diào)度[10]和濾波器調(diào)參[11]問(wèn)題上初見(jiàn)成效。今后，我們將嘗試使用代理模型與微搜索算法相結(jié)合的方法求解超大規(guī)模的復(fù)雜組合優(yōu)化問(wèn)題，從而提升微搜索算法的求解速度，以適應(yīng)當(dāng)今發(fā)展迅速的工業(yè)時(shí)代。

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